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By Chambert-Loir A.

This graduate path has faces: algebra and geometry. certainly, we examine at the same time loci of issues outlined by means of polynomial equations and algebras of finite variety over a box. we will express on examples (Hilbert's Nullstellensatz, size conception, regularity) how those are faces of a unmarried head and the way either geometrie and algebraic features enlight the single the opposite.

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Eine solche – wohlgemerkt A0 ∈ M als Element enthaltende – Teilmenge von M wollen wir einen Turm ¨ uber A0 nennen. B. die Menge aller derjenigen Elemente von M, die A0 umfassen, ein Turm u ¨ber A0 . ∗ Was hilft uns das im Garten? Nun, wir k¨ onnen zum Beispiel den Durchschnitt D aller T¨ urme u ¨ ber A0 bilden und wir k¨ onnen leicht sehen, daß D selbst wiederum ein Turm u ¨ber A0 ist, indem wir die 3 Bedingungen daf¨ ur einmal kurz u ¨ berfliegen. Sch¨ on w¨ ar’s nun, wenn D bez¨ uglich der Inklusion total geordnet w¨are.

Stanislaw Jerzy Lec XI. Axiom (Auswahlfunktion) Zu jeder nichtleeren Menge A von nichtleeren Mengen existiert eine Funktion f : A → A∈A A, f¨ ur die ∀A ∈ A : f (A) ∈ A gilt. Salopper gesagt, es existiert eine Funktion, die aus jeder der Mengen A ∈ A ein Element ausw¨ ahlt“. ” Das Auswahlaxiom erregt manche Gem¨ uter. Man m¨ochte dies f¨ ur wunderlich halten, wenn man die obige anschaulich relativ einleuchtende Formulierung betrachtet: Wenn irgendwo eine (beliebig große) Menge von deckellosen und lecker gef¨ ullten Suppent¨opfen aufgereiht herumsteht, kann man sich ja wohl ebensogut einen (beliebig langen) Stock mit genau so vielen Sch¨ opfkellen dran denken, mit denen man aus allen T¨opfen gleichzeitig eine Naschprobe stiebitzen kann.

Beweis: Wir betrachten ⎧ ⎫ ∀a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B : ⎨ ⎬ A := F ⊆ A × B (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a1 , b2 ) ∈ F ⇒ b1 = b2 und ⎩ ⎭ (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a2 , b1 ) ∈ F ⇒ a1 = a2 ( partielle Injektionen“). Diese Menge ist sicherlich nicht leer, denn sie enth¨alt min” ¨ destens die einelementigen Teilmengen von A × B. Uberdies ist die Mengeninklusion nat¨ urlich auch auf A eine Halbordnung. Ist K ⊆ A eine bez¨ uglich Inklusion total geordnete Teilmenge von A, so geh¨ ort offenbar auch H := K∈K K zu A, denn aus (x, y), (u, v) ∈ H folgt wegen der totalen Ordnung durch Inklusion in K sogleich ∃K ∈ K : (x, y), (u, v) ∈ K.

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by Jeff
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