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By René Bartsch

ISBN-10: 3486581589

ISBN-13: 9783486581584

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Monoidal Topology describes an energetic learn zone that, after quite a few previous proposals on the right way to axiomatize 'spaces' by way of convergence, started to emerge at the start of the millennium. It combines Barr's relational presentation of topological areas by way of ultrafilter convergence with Lawvere's interpretation of metric areas as small different types enriched over the prolonged actual half-line.

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Eine solche – wohlgemerkt A0 ∈ M als Element enthaltende – Teilmenge von M wollen wir einen Turm ¨ uber A0 nennen. B. die Menge aller derjenigen Elemente von M, die A0 umfassen, ein Turm u ¨ber A0 . ∗ Was hilft uns das im Garten? Nun, wir k¨ onnen zum Beispiel den Durchschnitt D aller T¨ urme u ¨ ber A0 bilden und wir k¨ onnen leicht sehen, daß D selbst wiederum ein Turm u ¨ber A0 ist, indem wir die 3 Bedingungen daf¨ ur einmal kurz u ¨ berfliegen. Sch¨ on w¨ ar’s nun, wenn D bez¨ uglich der Inklusion total geordnet w¨are.

Stanislaw Jerzy Lec XI. Axiom (Auswahlfunktion) Zu jeder nichtleeren Menge A von nichtleeren Mengen existiert eine Funktion f : A → A∈A A, f¨ ur die ∀A ∈ A : f (A) ∈ A gilt. Salopper gesagt, es existiert eine Funktion, die aus jeder der Mengen A ∈ A ein Element ausw¨ ahlt“. ” Das Auswahlaxiom erregt manche Gem¨ uter. Man m¨ochte dies f¨ ur wunderlich halten, wenn man die obige anschaulich relativ einleuchtende Formulierung betrachtet: Wenn irgendwo eine (beliebig große) Menge von deckellosen und lecker gef¨ ullten Suppent¨opfen aufgereiht herumsteht, kann man sich ja wohl ebensogut einen (beliebig langen) Stock mit genau so vielen Sch¨ opfkellen dran denken, mit denen man aus allen T¨opfen gleichzeitig eine Naschprobe stiebitzen kann.

Beweis: Wir betrachten ⎧ ⎫ ∀a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B : ⎨ ⎬ A := F ⊆ A × B (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a1 , b2 ) ∈ F ⇒ b1 = b2 und ⎩ ⎭ (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a2 , b1 ) ∈ F ⇒ a1 = a2 ( partielle Injektionen“). Diese Menge ist sicherlich nicht leer, denn sie enth¨alt min” ¨ destens die einelementigen Teilmengen von A × B. Uberdies ist die Mengeninklusion nat¨ urlich auch auf A eine Halbordnung. Ist K ⊆ A eine bez¨ uglich Inklusion total geordnete Teilmenge von A, so geh¨ ort offenbar auch H := K∈K K zu A, denn aus (x, y), (u, v) ∈ H folgt wegen der totalen Ordnung durch Inklusion in K sogleich ∃K ∈ K : (x, y), (u, v) ∈ K.

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Allgemeine Topologie I by René Bartsch


by John
4.4

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